Tillbaka till kursens huvudsida
Träna på provuppgifter med geometri

Geometri

De senaste tre högskoleproven har tre av uppgifterna på varje prov handlat om geometri. De tre geometriuppgifterna i sin tur har varit uppdelade i samma tre underområden, nämligen:

  • En uppgift med 2-dimensionella figurers areor eller sträckor
  • En uppgift med 3-dimensionella figurers volymer
  • En uppgift med vinklar

    Geometri - 2-dimensionella figurers areor och sträckor

    En av geometriuppgifterna på varje prov har handlat om 2-dimensionella geometriska figurers areor eller sträckor. Här är de tre uppgifterna från de senaste tre proven:

    HT2008:

    3
    ABCD är en parallelltrapets där vinklarna C och D är räta. Sidan AD är längre än sidan BC. Sidan AB är 17 cm lång. Hur lång är sidan AD?



    (1)
    Sidan BC är 20 cm lång.
    (2)
    Sidan CD är 15 cm lång.
    Tillräcklig information för lösningen erhålls

    A i (1) men ej i (2)
    B i (2) men ej i (1)
    C i (1) tillsammans med (2)
    D i (1) och (2) var för sig
    E ej genom de båda påståendena
    HT2008:3 Svar:C

    VT2008:

    4
    Cirklarna A och B är inskrivna i cirkeln C. Cirklarna A och B tangerar varandra. Summan av radien för A och radien för B är lika med radien för C. Hur stor är skillnaden mellan cirkel C:s area och de två andra cirklarnas sammanlagda area?



    (1)
    Radien för cirkel C är 15 cm.
    (2)
    Radien för cirkel A är 10 cm och för cirkel B 5 cm.
    Tillräcklig information för lösningen erhålls

    A i (1) men ej i (2)
    B i (2) men ej i (1)
    C i (1) tillsammans med (2)
    D i (1) och (2) var för sig
    E ej genom de båda påståendena
    VT2008:4 Svar:B

    HT2007:

    8
    Anita har ritat en kvadrat och en liksidig triangel. Hur stor omkrets har
    kvadraten?


    (1)
    Triangelns sida är 5,5 cm längre än kvadratens.
    (2)
    Kvadraten har lika stor omkrets som triangeln.
    Tillräcklig information för lösningen erhålls

    A i (1) men ej i (2)
    B i (2) men ej i (1)
    C i (1) tillsammans med (2)
    D i (1) och (2) var för sig
    E ej genom de båda påståendena
    HT2007:8 Svar:C

    Det återkommer vissa geometriska figurer på proven som är bra att känna till. Figurerna har vissa egenskaper, och så finns det formler som kan behövas för att räkna ut till exempel area och omkrets hos figurerna.

    Kvadrater

    Area = s*s

    Omkrets = 4*s

    Hos en kvadrat är alla sidor lika långa.

    Cirklar

    Diameter d = 2*r

    Omkrets = 2**r

    Area = *r2

    För att ange hur stor en cirkel kan man ange dess radie. Radien är avståndet från cirkelns mittpunkt ut till cirkelns kant. Radien är lika stor oavsett vilken riktning man drar den från mittpunkten. Ett annat sätt att ange cirkelns storlek är med diametern. Diametern är två gånger radien och går från kant till kant och genom mittpunkten. Symbolen som förekommer i formlerna för cirkelns omkrets och area är ett klassiskt tal som är ungefär 3,14 och kallas för "pi".

    Trianglar

    Area = b*h/2

    I formeln för triangelns area är b basen och h höjden. Basen är den sida som man väljer att vila triangeln på. Höjden blir då avståndet från basen till triangelns högsta topp.

    Pythagaros sats

    c2 = a2 + b2

    När en av vinklarna i triangeln är 90 grader, dvs har utseendet som ett L, så kallas triangeln för en rätvinklig triangel. Du kan känna igen en rätvinklig triangel av att en av hörnen är utmarkerat med en liten ruta. I en rätvinklig triangel kallas diagonalen för hypotenusan och de två andra sidorna för kateter. Till rätvinkliga trianglar finns ett väldigt känt samband som kallas för Pythagaros sats. Den säger att hypotenusan upphöjt i 2 är den ena katetern upphöjt i 2 + den andra katetern upphöjt i 2. Det betyder att om man känner två av sidorna i en rätvinklig triangel, kan man automatiskt beräkna den tredje sidan med hjälp av Pytagaros sats.

    Parallelltrapets

    Area = (a+b)*h/2

    En parallelltrapets är en fyrsidig figur där två motstående sidor är parallella.

    Geometri - 3-dimensionella figurers volymer

    Den andra kategorin geometriuppgifter handlar om 3-dimensionella figurers volymer. Det finns en sådan uppgift på varje prov. Här är de tre uppgifterna från de tre senaste proven.

    HT2008:

    16
    Markku har slagit in ett paket och dekorerat det med ett presentsnöre. Hur långt är presentsnöret på paketet?

    (1)
    Paketet är 4 cm högt, 8 cm brett och 22 cm långt.
    (2)
    Om Markku hade använt 5 procent mer snöre så hade han använt 71,4 cm snöre att slå in sitt paket med.
    Tillräcklig information för lösningen erhålls

    A i (1) men ej i (2)
    B i (2) men ej i (1)
    C i (1) tillsammans med (2)
    D i (1) och (2) var för sig
    E ej genom de båda påståendena
    HT2008:16 Svar:B

    (Notera att ovan uppgift från HT2008 är lite speciell, eftersom den försöker luras att lösningen ska räknas ut geometriskt, när det i själva verket inte är självklart hur presentsnöret är lindat)

    VT2008:

    17
    Två kuber är olika stora. Hur många gånger större volym har den större
    kuben än den mindre?


    (1)
    Den större kubens area är dubbelt så stor som den mindre kubens area.
    (2)
    Förhållandet mellan den större och den mindre kubens sidor är
    Tillräcklig information för lösningen erhålls

    A i (1) men ej i (2)
    B i (2) men ej i (1)
    C i (1) tillsammans med (2)
    D i (1) och (2) var för sig
    E ej genom de båda påståendena
    VT2008:17 Svar:D

    HT2007:

    14
    En vas har formen av en kon med basen uppåt. Vasen rymmer 12 dl.
    Hur hög är vasen?

    (1)
    Om vasens höjd halveras kommer den att rymma 1,5 dl.
    (2)
    Vasens innerdiameter högst upp är 12 cm.
    Tillräcklig information för lösningen erhålls

    A i (1) men ej i (2)
    B i (2) men ej i (1)
    C i (1) tillsammans med (2)
    D i (1) och (2) var för sig
    E ej genom de båda påståendena
    HT2007:14 Svar:B

    Uppgifterna handlar oftast om volymen, men det kan även i sällsynta fall handla om arean, se exempelvis uppgiften från VT2008. Arean hos en 3-dimesionell figur är storleken av den yttre yta som figuren har. Följande 3-dimensionella figurer brukar återkomma på högskoleprovet:

    Kuben

    Volym = s*s*s

    Ytarea = 6*s*s

    Hos en kub är alla kanter lika långa. Kubens ytarea består av 6 kvadratiska ytor och är därför 6 * varje kvadrats area.

    Rätblocket

    Volym = a*b*c

    Ytarea = 2ab+2ac+2bc

    Hos ett rätblock är till skillnad från kuben inte nödvändigtvis alla kanter lika långa. Rätblockets ytarea består av tre par motstående rektanglars areor.

    Sfären

    Volym = 4**r3/3

    En sfär kan man se som en tredimensionell cirkel. Liksom cirkeln kan man ange sfärens storlek med dess radie. Radien är avståndet från mittpunkten till sfärens yta och är lika långt oavsett var på ytan man drar radien till. Förutom volymen kan man även beräkna sfärens ytarea men sådana uppgifter verkar inte ha förekommit tidigare på högskoleprovet.

    Cylindern

    Volym = B*h = *r2*h

    En cylinder är som en rörformad behållare. Cylindern har en basyta som den står på som har formen av en cirkel. Cylinderns kanter är raka. Formeln för cylinderns volym blir följaktligen basytan gånger höjden vilket är det samma som cirkelns area gånger höjden.

    Konen

    Volym = B*h/3 = *r2*h/3

    Konen har precis som cylindern en cirkelformad basyta. Men istället för raka uppåtgående kanter, har konen lutande kanter som möts i en toppunkt. Formeln för konens volym är precis som cylindern fast delat med 3.

    Geometri - vinklar

    Den tredje geometriuppgiften som förekommer på varje prov handlar om vinklar. Här är de tre uppgifterna från de tre senaste proven.

    HT2008:

    20
    ABC är en likbent triangel, där sidan AB är lika lång som sidan BC. En punkt D i triangeln ABC bildar tillsammans med punkterna A och C en annan triangel ADC. Vinkeln CAD är 30 grader. Hur stor är vinkeln ABC?



    (1)
    Vinkeln ACD är 20 grader.
    (2)
    VInkeln DAB är 10 grader.
    Tillräcklig information för lösningen erhålls

    A i (1) men ej i (2)
    B i (2) men ej i (1)
    C i (1) tillsammans med (2)
    D i (1) och (2) var för sig
    E ej genom de båda påståendena
    HT2008:20 Svar:B

    VT2008:

    12
    Två parallella linjer skärs av en tredje linje, vilket gör att sammanlagt åtta vinklar
    uppstår. Hur stor blir varje vinkel?

    (1)
    En av de åtta vinklarna är 158º.
    (2)
    Den minsta vinkeln är 22º.
    Tillräcklig information för lösningen erhålls

    A i (1) men ej i (2)
    B i (2) men ej i (1)
    C i (1) tillsammans med (2)
    D i (1) och (2) var för sig
    E ej genom de båda påståendena
    VT2008:12 Svar:D

    HT2007:

    22
    I fyrhörningen ABCD är sidorna AB och CD parallella. Hur stor är vinkeln BDC?



    (1)
    Vinkeln ABD är 38 grader.
    (2)
    Vinkeln CAD är 70 grader.
    Tillräcklig information för lösningen erhålls

    A i (1) men ej i (2)
    B i (2) men ej i (1)
    C i (1) tillsammans med (2)
    D i (1) och (2) var för sig
    E ej genom de båda påståendena
    HT2007:22 Svar:A

    Vad är en vinkel?

    Med en vinkel menas hur stor skillnad två sträckor är vridna till varandra. Ofta brukar man prata om vinklar i olika figurer, t.ex trianglar och kvadrater för att ange hur smala eller vida hörnen är i figurerna. Vinklar ritas ut i figuren som bågar vid hörnen.

    Vinklar mäts i grader. Här till vänster ser du några exempel på vad vissa vinklar har för grader. Två sträckor som inte är vridna något gentemot varandra har vinkeln 0. Två sträckor som är vridna ett kvartsvarv gentemot varandra och bildar ett "L" har vinkeln 90 grader. Detta kallas för en rät vinkel och brukar markeras med en liten ruta istället för en båge. En rak sida, vilket motsvarar ett halvvarv, har vinkeln 180 grader.

    För att tala om vilken vinkel man pratar är det vanligt, framför allt på högskoleprovet, att ange en kombination av tre bokstäver, t.ex. CAB. Den mittre bokstaven talar om vilket hörn som vinkeln ligger vid. De två andra bokstäverna talar om till vilka hörn som sträckorna som bildar vinkeln går till. I vår figur det självklart till vilka hörn sträckorna går till, men i andra fall kan två figurer dela samma hörn och då är det inte lika självklart, se t.ex. uppgiften från HT2008.

    Vi ska nu titta på några figurer och se vilka samband det finns hos deras vinklar.

    En triangel har vinkelsumman 180 grader

    a+b+c=180

    En triangel har det speciella sambandet att dess tre vinklar tillsammans har summan 180 grader. Detta gäller alltid, oavsett hur stor triangeln är och vilken form den har. Det innebär att om du känner två av vinklarna i en triangel kan du alltså automatiskt räkna ut den tredje vinkeln.

    En liksidig triangel

    a = b = c = 60

    En liksidig triangel är en triangel där alla tre sidor är lika långa, och brukar dyka upp ibland på högskoleprovet. Den brukar markeras ett streck på varje sida för att visa att sidorna är lika stora. En liksidig triangel har det speciella sambandet att alla dess vinklar är lika stora. Eftersom en triangel har vinkelsumman 180 grader, så är varje vinkel i den liksidiga triangeln 180/3 = 60 grader. Du kan alltså utifrån informationen att en triangel är liksidig få ut alla dess vinklar direkt.

    En likbent triangel

    a = b = c = 60

    I en likbent triangel är två av sidorna lika långa. Det är lätt att förväxla den likbenta triangeln med den liksidiga triangeln och tro att alla sidor är lika långa. En bra minnesregel är att den likbenta triangeln har två "ben" som är lika långa. Den likbenta triangeln har sambandet att de två "benvinklarna" som bildas vid triangelns bas är lika stora.

    Exempel: I en likbent triangel är en vinkel 120 grader. Hur stora är de övriga vinklarna. Svar: Vinkeln 120 grader kan inte vara en av de två benvinklarna, eftersom triangels vinkelsumma då skulle vara minst 2*120 vilket är större än 180 grader. De två benvinklarna är alltså de två övriga vinklarna och deras summa är 180-120=60 grader. Eftersom de två benvinklarna är lika stora måste var och en ha vinkeln 60/2=30 grader.

    Två parallella linjer som skärs av en tredje linje

    När två parallella linjer skärs av en tredje linje uppstår 8 vinklar.Det finns flera samband mellan dessa vinklar och detta brukar vara en vanlig högskoleprovsuppgift i någon form.

    Sidovinklar

    a + b = 180

    När två vinklar ligger an mot en gemensam sida så kallas de för sidovinklar. Deras summa är 180 grader.

    Likbelägna vinklar

    a = b

    Två vinklar som är belägna på samma ställe fast på varsin egen parallell linje, kallas för likbelägna vinklar. Likbelägna vinklar är lika stora

    Alternatvinklar

    a = b

    Alternatvinklar kallas två vinklar om de ligger på varsin alternativ sida om den tredje linjen. Dessa vinklar är lika stora.

    Vertikalvinklar

    a = b

    För två linjer som skär varandra så kallas två vinklar vertikalvinklar om de ligger vertikalt mot varandra och inte på samma sida. Vertikalvinklar är också lika stora som varandra.

    Eftersom det förekommer så många samband mellan vinklarna, så gör det att om en av vinklarna är känd, så kan de övriga 7 vinklarna också bestämmas.

    Exempel: Vi tittar på uppgiften från VT2008: Två parallella linjer skärs av en tredje linje, vilket gör att 8 vinklar uppstår. Hur stor blir varje vinkel? (1) En av de åtta vinklarna är 158 grader. (2) Den minsta vinkeln är 22 grader. Svar: Om man studerar figuren med de 8 vinklarna, så ser man att 4 av vinklarna måste vara lika med varandra, och övriga 4 vinklar lika med varandra. Det förekommer alltså bara 2 olika vinklar, en stor och en liten, och tillsammans är de 180 grader. I (1) får vi veta den stora vinkeln och i (2) den lilla vinkeln. Det räcker var för sig att bestämma alla vinklar. Rätt svar är alltså D.

    Vinklarna hos en parallelltrapets

    a + b = 180

    c + d = 180

    I en parallelltrapets är två av sidorna parallella. Detta är alltså likt den situation då två parallella linjer skärs av en annan linje. Genom att använda de samband som vi gick igenom då så går det att se att de två vinklarna vid parallelltrapetsens vänstra sida tillsammans är 180 grader. På samma sätt är de två vinklarna vid parallelltrapetsens högra sida tillsammans 180 grader.

    Exempel: Vi tittar på uppgiften från HT2007 med (1) för sig. I fyrhörningen ABCD är sidorna AB och CD parallella. Hur stor är vinkeln BDC om vinkeln ABD är 38 grader? Svar: Här kan man se att vinklarna BDC och ABD är alternatvinklar och alltså lika stora. BDC är alltså 38 grader.

    Likformighet

    Samma vinklar

    Samma förhållande
    a / b = c / d

    Begreppet likformighet brukar kunna dyka upp på högskoleprovet. Det brukar ofta handla om två trianglar som är likformiga. Att två trianglar är likformiga betyder att de har samma form. De kan ha olika storlek men den ena är en förstoring eller förminskning av den andra. Likformiga trianglar har två viktiga samband:

  • Vinklarna i trianglarna är desamma.
  • Förhållandet mellan sidorna är detsamma.
    Dessa två samband är väldigt användbara på högskoleprovet.